用基础解系表示方程组通解 x1+x2-3x4-x5=2 x1-x2+2x3-x4=1 4x1-2x2+6x3+3x4-4x5= 8 2x1+4x2-2x3+4x4-7x5=9

写出线性方程组的增广矩阵，用初等行变换来解
1 1 0 -3 -1 2
1 -1 2 -1 0 1
4 -2 6 3 -4 8
2 4 -2 4 -7 9 第2行减去第1行，第3行减去第1行×4，第4行减去第1行×2
～
1 1 0 -3 -1 2
0 -2 2 2 1 -1
0 -6 6 15 0 0
0 2 -2 10 -5 5 第3行减去第2行×3，第4行加上第2行
～
1 1 0 -3 -1 2
0 -2 2 2 1 -1
0 0 0 9 -3 3
0 0 0 12 -4 4 第2行除以-2，第3行除以9
～
1 1 0 -3 -1 2
0 1 -1 -1 -1/2 1/2
0 0 0 1 -1/3 1/3
0 0 0 12 -4 4 第1行减去第2行，第4行减去第3行×12
～
1 0 1 -2 -1/2 3/2
0 1 -1 -1 -1/2 1/2
0 0 0 1 -1/3 1/3
0 0 0 0 0 0 第1行加上第3行×2，第2行加上第3行
～
1 0 1 0 -7/6 13/6
0 1 -1 0 -5/6 5/6
0 0 0 1 -1/3 1/3
0 0 0 0 0 0
显然在这里系数矩阵和增广矩阵的秩都为3，
故方程组有解，向量个数等于未知数个数减去秩，即5-3=2
在这里自由变量为x3和x5
x3=1，x5=0时，得到x1=-1，x2=1，x4=0
故向量为(-1,1,1,0,0)^T

而x3=0，x5=1时，得到x1=7/6，x2=5/6，x4=1/3
故向量为(7/6,5/6,0,1/3,1)^T 即(7,5,0,2,6)^T
所以齐次方程的解为：k1(-1,1,1,0,0)^T+k2(7,5,0,2,6)^T

而(x1,x2,x3,x4,x5)^T=(13/6,5/6,0,1/3,0)^T时，满足非齐次方程组，
故为方程的特解

所以方程组的通解为
(13/6,5/6,0,1/3,0)^T+k1(-1,1,1,0,0)^T+k2(7,5,0,2,6)^T (K1,K2为任意常数)
就是你给的答案

合并 在转换