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证明：当x>0时，x⼀（1+x2)<arctanx<x.（x2指x平方）

2024-11-14 11:06:05

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回答1：

证明：设y=x/(1+x²)-arctanx，由于y'=[(1+x²)-2x²]/(1+x²)²-1/(1+x²)=(1-x²)/(1+x²)²-1/(1+x²)
=[(1-x²)-(1+x²)]/(1+x²)²=-2x²/(1+x²)<0，故y是减函数；当x=0时，y=0；当x>0时必有y<0；
即不等式x/(1+x²)0时成立；
再设u=arctanx-x，由于u'=1/(1+x²)-1=-x²/(1+x²)<0，故u也是减函数；当x=0时u=0；故当x>0时
必有u=arctanx-x<0，即不等式arctanx0时成立。
于是命题得证。