全国任意6个人中，必有3个人互相认识或有3个人互相都不认识，为什么？

证明：先从6个人中选出一个人，他与另外5人要么认识，要么不认识。
所以至少有3个人对于他是一样的（至少有三个人他都认识或都不认识）。
假设这3个人他都认识。
再看这三个人，若是他们三个中有两个人认识，则这两个人已经与第一个人组成3个人，互相都认识；若是他们三个中两两都不认识，则他们三个人两两都不认识。

用图形来表达也许会更好：
假设6个人是6个点，其中两个人认识就用红色线段连线；若不认识就用黄色线段连线。只需证“其中必有一个同色三角形”。
那么从第一个人引出的5条线段必有3条同色。再从这3条同色的端点看，若其中两点的线段与前相同，则构成同色三角形；若这3个点两两相连的线段都与前异色，则这三个点同色，构成同色三角形。

因为6个人中3个人互相认识或有3个人互相都不认识就包括了全部的可能情况。
在这里，我认识他，他不认识我的情况是不用讨论的。
那么就可以假设6个人中没有人互相认识，属于第二种情况（有3个人互相都不认识）；
假设只有2个人互相认识，那么其余4个都互相不认识，属于第二种情况；
假设只有3个人互相认识，其余三个都互相不认识，属于第一种和第二种情况；
假设只有4个人互相认识，那么满足第一种情况；
假设只有5个人互相认识，也是满足第一种情况；
假设只有6个人互相认识，还是满足第一种情况；
所以所有的情况都包括了，6个人中则必有3个人互相认识或有3个人互相都不认识！

“ぐ流ぐ ☆°”的解答非常简捷明了，棒！！！