什么叫紧集？

在度量空间内，紧集还可以定义为满足以下任一条件的集合：i)任意列有收敛子列且该子列的极限点属于该集合（自列紧集）；ii)具备Bolzano-Weierstrass性质；iii)完备且完全有界 ；iv)预紧集合的闭包。
紧集：紧集是拓扑空间内的一类特殊点集，它们的任何开覆盖都有有限子覆盖。

每一度空间X都是另一完备度量空间的稠密子空间，而且由X唯一构造出来。例如，实数直线就是有理数集的完备化，20世纪初建立严密的数学分析理论正是基于这一重要事实。

稠密子空间：

在度量空间中可以用距离定义点列的收敛概念：xn→x0就是指d（xn,x0）。点列{xn}称为柯西点列，是指对任意正实数ε，都存在自然数N，使得m、n≥N时有可以证明收敛点列一定是柯西点列，反过来并不成立。

每个柯西点列都收敛的度量空间叫做完备度量空间。这类空间有许多好的性质。例如，完备度量空间中压缩映射原理成立。可以用它证明微分方程、积分方程以及无限线性代数方程组的一系列存在唯一性定理。

度量空间X的任何子集Y配上原有的距离也成为度量空间，称作X的子空间。如果每个开球{x∈X|d(x0,x)

以上内容参考：百度百科-度量空间

紧集

　　定义
　　紧集是拓扑空间内的一类特殊点集，它们的任何开覆盖都有有限子覆盖。在度量空间内，紧集还可以定义为满足以下任一条件的集合：
　　任意列有收敛子列且该子列的极限点属于该集合（自列紧集）
　　具备Bolzano-Weierstrass性质
　　完备且完全有界
　　性质
　　紧集具有以下性质：
　　点集是紧集的充分必要条件是它为有界闭集。
　　紧集在连续函数下的像仍是紧集。
　　豪斯多夫空间的紧子集是闭集。
　　实数空间的非空紧子集有最大元素和最小元素。
　　Heine-Borel定理:在Rn内，一个集合是紧集当且仅当它是闭集并且有界。
　　定义在紧集上的连续实值函数有界且有最大值和最小值。
　　定义在紧集上的连续实值函数一致连续。
　　直观理解
　　从某种意义上，紧集类似于有限集。举最简单的例子而言，在度量空间中，所有的有限集都有最大与最小元素。一般而言，无限集可能不存在最大或最小元素（比如R中的(0, 1)）,但R中的非空紧子集都有最大和最小元素。在很多情况下，对有限集成立的证明可以扩展到紧集。一个简单的例子是对以下性质的证明：定义在紧集上的连续实值函数一致连续。
　　类似概念
　　自列紧集：每个有界序列都有收敛的子序列。
　　可数紧集：每个可数的开覆盖都有一个有限的子覆盖。
　　伪紧：所有的实值连续函数都是有界的。
　　弱可数紧致：每个无穷子集都有极限点。
　　在度量空间中，以上概念均等价于紧集。
　　以下概念通常弱于紧集：
　　相对紧致：如果一个子空间Y在母空间X中的闭包是紧致的，则称Y是相对紧致于X。
　　准紧集：若空间X的子空间Y中的所有序列都有一个收敛的子序列，则称Y是X中的准紧集。
　　局部紧致空间：如果空间中的每个点都有个由紧致邻域组成的局部基，则称这个空间是局部紧致空间。
　　请帮助解答：
　　1.拓扑空间的紧子集的闭包可以不是紧的，谁可以给出个例子
　　R上的 Alexandroff拓扑的紧子集的闭包都为R，显然R不是紧的，
　　注：正则空间的紧子集的闭包必为紧的！
　　2.{Xn}收敛到x0,且都属于X，如何证明{x0}与{Xn,n取正整数}之并是紧集
　　证：因为{Xn}收敛到X0,所以有对任意ξ>0,都存在N，对任意n>N时有|Xn-X0|<ξ成立。也就是说当n大于某一存在常数N而趋向无穷大时，都有Xn∈O(X0,ξ)成立，而ξ是任意大于零，则X0的任意领域都含有无穷多{Xn}中的点，所以X0是{X0}∪{Xn}的聚点，而其余的点Xn(n=1,2,3…)都是孤立点，此外因数列收敛的唯一性，且其任意子列都收敛于X0，故该并集中含有有且唯一的一个聚点X0，故并集为闭集。
　　又因为收敛数列的有界性，故此为有界闭集，为紧集！

定义
紧集是拓扑空间内的一类特殊点集,它们的任何开覆盖都有有限子覆盖.在度量空间内,紧集还可以定义为满足以下任一条件的集合：
任意列有收敛子列且该子列的极限点属于该集合（自列紧集）
具备Bolzano-Weierstrass性质
完备且完全有界
性质
紧集具有以下性质：
紧集必然是有界的闭集,但反之不一定成立.
紧集在连续函数下的像仍是紧集.
豪斯多夫空间的紧子集是闭集.
实数空间的非空紧子集有最大元素和最小元素.
Heine-Borel定理:在Rn内,一个集合是紧集当且仅当它是闭集并且有界.
定义在紧集上的连续实值函数有界且有最大值和最小值.
定义在紧集上的连续实值函数一致连续.
直观理解
从某种意义上,紧集类似于有限集.举最简单的例子而言,在度量空间中,所有的有限集都有最大与最小元素.一般而言,无限集可能不存在最大或最小元素（比如R中的(0,1)）,但R中的非空紧子集都有最大和最小元素.在很多情况下,对有限集成立的证明可以扩展到紧集.一个简单的例子是对以下性质的证明：定义在紧集上的连续实值函数一致连续.
类似概念
自列紧集：每个有界序列都有收敛的子序列.
可数紧集：每个可数的开覆盖都有一个有限的子覆盖.
伪紧：所有的实值连续函数都是有界的.
弱可数紧致：每个无穷子集都有极限点.
在度量空间中,以上概念均等价于紧集.
以下概念通常弱于紧集：
相对紧致：如果一个子空间Y在母空间X中的闭包是紧致的,则称Y是相对紧致于X.
准紧集：若空间X的子空间Y中的所有序列都有一个收敛的子序列,则称Y是X中的准紧集.
局部紧致空间：如果空间中的每个点都有个由紧致邻域组成的局部基,则称这个空间是局部紧致空间.