a,b,c>0,a+b+c=1,证a⼀b+b⼀c+c⼀a+24(ab+bc+ca)≥11.

已知a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,则
(a-b)^2≥0......(1)
(b-c)^2≥0......(2)
(c-a)^2≥0......(3)
(1)+(2)+(3),得
[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] ≥0
1*(1/2)*[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] ≥0
(a+b+c)*(1/2)*[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]≥0
上不等式整理化简,得
a^3+b^3+c^3-3abc≥0
a^3+b^3+c^3≥3abc
同理
[(b/a)^(1/3)]^3+[(c/b)^(1/3)]^3+[(a/c)^(1/3)]^3
≥3*[(b/a)*(c/b)*(a/c)]^(1/3)=3
又a+b=定值时,ab的值最大
同理a+b+c=定值时,当a=b=c,abc的值最大
已知a+b+c=1,故当a=b=c=1/3时,abc最大=1/27
因ab+bc+ca≥3*[(abc)^2]^(1/3)
3*[(abc)^2]^(1/3)的最大值=3*[(1/27)^2]^(1/3)=1/3
24(ab+bc+ca)≥24*1/3=8
故b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)≥3+8=11
即b/a+c/b+a/c+24(ab+bc+ca)≥11