已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）

2025-04-24 10:33:06

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回答1：

（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+

1-x

…（1分）
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数…（3分）
∴f（x）_max =f（1）=-1…（4分）
（Ⅱ）∵f′（x）=a+

，x∈（0，e），

∈ (

，+∞) …（5分）
①若a≥ -

，则f′（x）＞0，从而f（x）在（0，e）上增函数…（6分）
②若a＜ -

，则由f′（x）＞0 ?a+

＞0，即0＜x＜ -

由f′（x）＜0 ?a+

＜0，即 -

＜x＜e．…（7分）
∴f（x）在 (0，-

) 上增函数，在 (-

，e) 为减函数…（8分）
综合上面得：当a≥ -

时，f（x）在（0，e）上增函数；当a＜ -

时，f（x）在 (0，-

) 上增函数，在 (-

，e) 为减函数．
（Ⅲ）|2x（x-lnx）|=2lnx+x?|x-lnx|=

lnx

…（9分）
由（Ⅰ）知当a=-1时f（x）_max =f（1）=-1，即-x+lnx≤-1
∴|x-lnx|≥1…（10分）
又令g（x）=

lnx

，g′（x）=

1-lnx

x 2

，
令g′（x）＞0，得0＜x＜e；令g′（x）＜0，得x＞e
∴g（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）
∴g（x）_max =g（e）=

＜1，∴g（x）＜1…（12分）
∴|x-lnx|＞g（x），即|x-lnx|＞

lnx

…（13分）
∴方程|x-lnx|=

lnx

即方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x没有实数解．…（14分）

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（Ⅰ） 当a=-1时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）